Materi Matematika Sistem Bilangan Rill

Himpunan Bilangan Rill

Bilangan rill adalah bilangan yang nyata. bilangan rill disimbolkan dengan huruf R. Himpunan bilangan rill terdiri dari bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan bulat, bilangan cacah, dan bilangan asli. Berikut ini penjelasan mengenai himpunan bilangan rill:

a. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{p}{q}\), dengan p, q, \(\in\) B dan q \(\neq\) 0. Bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Ciri bilangan rasional adalah bilangan desimal yang berulang atau berpola.

Contoh:

Bilangan 1,333...

Bilangan 1,636363...

Bukti:

Jika 1,333 .... = A  kemudian ruas kanan dan kiri dikalikan dengan 10

karena angka yang berulang sama, yaitu hanya angka 3satu.

13,33... = 10A

Kemudian kita pecahkan dengan memisahkan angka 1,333... sehingga

12 + 1,33... = 10A

Karena 1,33... = 1,333... = A

12 + A = 10 A

12 = 10A - A

12 = 9A

A = \(\frac{12}{9}\)

Terbukti bahwa bilangan 1,333... = \(\frac{12}{9}\) yang merupakan bilangan Rasional

b. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{p}{q}\), dengan p, q, \(\in\) B dan q \(\neq\) 0. Bilangan irrasional dilambangkan dengan huruf I. Ciri dari bilangan irrasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang/tidak berpola.

Contoh:

Bilangan \(\pi\) (3,14159265...) bilangan desimal dengan bentuk tidak berpola atau tidak berulang sama, sehingga dinamakan bilangan irrasional karena tidak bisa dibentuk menjadi  \(\frac{p}{q}\)

c. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z.

Contoh :

Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

d. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif. Bilangan cacah disimbolkan dengan huruf W.

Contoh :

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

e. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif. Bilangan asli disimbolkan dengan huruf N.

Contoh :

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

SIFAT MEDAN, DAN SIFAT URUTAN BILANGAN RIIL

a. Sifat Medan

1) Hukum komutatif

Jika x dan y \(\in\) R, maka x + y = y + x dan x.y = y.x

2) Hukum Asosiatif

Jika x, y, dan z \(\in\) R, maka x + (y + z) = (x + y) + z dan x.(y.z) = (x.y).z

3) Hukum distributif

Jika x, y, dan z \(\in\) R, maka x (y + z) = xy + xz

4) Eksistensi Unsur Identitas

Jika x dan y \(\in\) R, maka x + 0 = x, dan x. 1 = x

5) Eksistensi Negatif/ Invers Penjumlahan 

Jika x dan y  R, maka x + (-x) = 0

6) Eksistensi Resiprokal/Invers Perkalian

Jika x dan y \(\in\) R, maka x. \(x^{-1}\) = 1

b. Sifat Urutan

1) Trikotomi

Jika x dan y \(\in\) R, maka ada 3 kemungkinan yaitu x < y, x = y, dan x > y.

2) Ketransitifan

Jika x < y, dan y < z, maka x < z.

3) Penambahan

Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil, maka x + z < y+ z

4) Perkalian

Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil positif, maka x.z < y.z

Jika x < y, dan z sembarang bilangan riil negatif, maka x.z > y.z